Aturan sinus dan kosinus merupakan dua konsep fundamental dalam trigonometri yang memungkinkan kita menyelesaikan masalah segitiga sembarang. Kedua aturan ini saling melengkapi dan digunakan dalam situasi yang berbeda berdasarkan informasi yang diketahui.
1. Aturan Sinus (Law of Sines)
Aturan sinus menyatakan bahwa dalam segitiga sembarang, perbandingan panjang sisi terhadap sinus sudut di hadapannya adalah konstan dan sama dengan diameter lingkaran luar segitiga.
- a = panjang sisi di hadapan sudut A
- b = panjang sisi di hadapan sudut B
- c = panjang sisi di hadapan sudut C
- R = jari-jari lingkaran luar segitiga
Kapan menggunakan Aturan Sinus?
Aturan sinus efektif digunakan ketika:
- Diketahui dua sudut dan satu sisi (ASA atau AAS)
- Diketahui dua sisi dan sudut di hadapan salah satu sisi (SSA)
Contoh Soal Aturan Sinus
Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 30°, sudut B = 45°, dan panjang sisi a = 8 cm. Berapakah panjang sisi b?
Penyelesaian:
Gunakan aturan sinus:
\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\)
\(\dfrac{8}{\sin 30^\circ} = \dfrac{b}{\sin 45^\circ}\)
\(\dfrac{8}{0.5} = \dfrac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(16 = \dfrac{b}{0.7071}\)
\(b = 16 \times 0.7071 \approx 11.3137\) cm
2. Aturan Kosinus (Law of Cosines)
Aturan kosinus merupakan generalisasi dari teorema Pythagoras untuk segitiga sembarang. Aturan ini menghubungkan panjang sisi segitiga dengan kosinus salah satu sudutnya.
- Untuk mencari sisi di hadapan sudut C: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \)
- Untuk mencari sudut C ketika ketiga sisi diketahui: \( \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
- Formula serupa berlaku untuk sudut lainnya dengan penyesuaian sisi yang sesuai
Kapan menggunakan Aturan Kosinus?
Aturan kosinus efektif digunakan ketika:
- Diketahui ketiga sisi segitiga (SSS)
- Diketahui dua sisi dan sudut di antara keduanya (SAS)
Contoh Soal Aturan Kosinus
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 7 cm, b = 9 cm, dan sudut C = 60°. Berapakah panjang sisi c?
Penyelesaian:
Gunakan aturan kosinus:
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \)
\( c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ \)
\( c^2 = 49 + 81 - 126 \cdot 0.5 \)
\( c^2 = 130 - 63 = 67 \)
\( c = \sqrt{67} \approx 8.1854 \) cm
Perbandingan Aturan Sinus dan Kosinus
| Kriteria | Aturan Sinus | Aturan Kosinus |
|---|---|---|
| Digunakan ketika | Dua sudut dan satu sisi (AAS/ASA) atau dua sisi dan sudut di hadapan salah satu sisi (SSA) | Tiga sisi (SSS) atau dua sisi dan sudut di antara keduanya (SAS) |
| Kompleksitas perhitungan | Relatif sederhana | Lebih kompleks, melibatkan kuadrat dan akar |
| Kasus ambigu | Mungkin terjadi pada kasus SSA (dua solusi mungkin) | Tidak ada kasus ambigu |
| Hubungan dengan lingkaran luar | Langsung terkait dengan jari-jari lingkaran luar (2R) | Tidak langsung terkait |
| Aplikasi umum | Mencari sisi/sudut yang belum diketahui, navigasi | Mencari sisi/sudut, menentukan jenis segitiga, geodesi |
Rekomendasi Ahli Matematika
Berdasarkan rekomendasi ahli matematika, berikut langkah-langkah sistematis dalam menyelesaikan masalah segitiga sembarang:
- Identifikasi informasi yang diketahui (sisi dan sudut)
- Tentukan apakah kasus termasuk AAS, ASA, SSA (gunakan aturan sinus) atau SAS, SSS (gunakan aturan kosinus)
- Untuk kasus SSA, periksa kemungkinan solusi ganda (kasus ambigu)
- Hitung elemen yang tidak diketahui dengan rumus yang sesuai
- Verifikasi hasil dengan memeriksa jumlah sudut (harus 180°) dan ketidaksamaan segitiga
- Gunakan kedua aturan untuk verifikasi silang jika memungkinkan
Contoh Kasus Ambigu (SSA)
Diketahui segitiga ABC dengan sisi a = 10 cm, sisi b = 6 cm, dan sudut A = 30°. Tentukan besar sudut B.
Penyelesaian:
Gunakan aturan sinus:
\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\)
\(\dfrac{10}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{\sin B}\)
\(\dfrac{10}{0.5} = \dfrac{6}{\sin B}\) → 20 = \dfrac{6}{\sin B}\)
\(\sin B = \dfrac{6}{20} = 0.3\)
\(B = \sin^{-1}(0.3) \approx 17.46^\circ\) atau \(B \approx 180^\circ - 17.46^\circ = 162.54^\circ\)
Kedua nilai B memenuhi syarat karena 17.46° + 30° < 180° dan 162.54° + 30° < 180°